Relasi ekuivalen adalah relasi yang memenuhi sifat reflektif, simetris, dan transitif. Dari penjelasan dibawah terbukti bahwa relasi [tex]\mathfrak{R}[/tex]relasi ekuivalen.
Penjelasan dengan langkah-langkah
Diketahui:
Diberikan relasi ℜ pada bilangan riil sebagai berikut. ”Untuk a, b ∈ ℝ, aℜb jika dan hanya jika a− b habis dibagi 5 (atau dapat ditulis 5| (a −b)).
Ditanyakan:
Buktikan bahwa relasi berikut merupakan relasi ekuivalen!
Jawab:
Akan dibuktikan bahwa relasi ℜ adalah relasi ekuivalen
1) akan dibuktikan bahwa relasi ℜ reflektif.
Diambil sebarang a∈ℝ
aℜa ⇔ 5| (a-a) ⇔ 5| 0 (benar)
Jadi, terbukti bahwa relasi ℜ reflektif.
2) Akan dibuktikan bahwa relasi ℜ simetris
Diambil sebarang a,b∈ℝ
Diketahui bahwa aℜb ⇒ (a-b) = 5k, untuk suatu k∈ℝ
akan ditujukkan bahwa bℜa. Oleh karena (a-b)=5k, maka
-(a-b) = -5k ⇔ b-a = -5k
sehingga 5| (b-a). Jadi, dapat disimpulkan bahwa bℜa (terbukti).
3) Akan dibuktikan bahwa relasi ℜ transitif
Diambil sebarang a,b,c∈ℝ
Diketahui aℜb dan bℜc
aℜb ⇔ 5| (a-b) ⇔ a-b = 5k, untuk suatu k∈ℝ
bℜc ⇔ 5| (b-c) ⇔ b-c = 5l, untuk suatu k∈ℝ
Akan ditunjukkan bahwa aℜc
a - c = a - b + b - c = 5k + 5l = 5(k+l)
Sehingga, dapat simpulkan 5| (a-c). Jadi, terbukti bahwa relasi ℜ transitif.
Karena telah terbukti bahwa relasi ℜ reflektif, simetris, dan transitif sehingga dapat disimpulkan bahwa relasi ℜ adalah relasi ekuivalen.
Pelajari lebih lanjut
Pelajari lebih lanjut tentang materi relasi ekuivalen pada
https://brainly.co.id/tugas/22639527
#BelajarBersamaBrainly #SPJ1
[answer.2.content]
